Aussagen


\(\\\)

Aufgabe 1 Verlauf der Graphen

Alle Graphen der Schar gehen durch den Koordinatenursprung und haben dort die gleiche Steigung. Außerdem gibt es keine andere Stelle, an der sich zwei verschiedene Graphen der Schar schneiden.

Bildlich sieht das dann folgendermaßen aus:

my image

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Streckung der Schar

Streckung in y-Richtung

Wird eine Funktion in \(y\)-Richtung gestreckt oder gestaucht, so befindet sich der Streckungsfaktor vor der Funktion. Weiter gilt:

\(\\[1em]\)

Streckung in x-Richtung

Wird eine Funktion in \(x\)-Richtung gestreckt oder gestaucht, so befindet sich der Streckungsfaktor vor dem \(x\). Weiter gilt:

\(\\[1em]\)

Aufstellen der Gleichung

Wir definieren die Funktion

\( \quad f_a(x) \; = \; x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \)

\(\\\)

als Funktion \(h\) mit

my image

Aus den obigen Beschreibungen folgt, dass der Streckungsfaktor in \(y\)-Richtung \(k\) ist und in \(x\)-Richtung der Faktor \(\frac{1}{k}\) sein muss.

Wir berechnen die gestreckte Funktion mit

my image

Die Funktion

\( \quad \begin{array}{ r c l } f_{a,k}(x) & = & x \cdot e^{\frac{-a \cdot k^{-2} \cdot x^2}{2} + \frac{1}{2}} \\[6pt] & = & x \cdot e^{-\frac{a \cdot x^2}{2k^2} + \frac{1}{2}} \\[6pt] & = & x \cdot e^{-\frac{1}{2} \frac{a}{k^2} \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \\ \end{array} \)

\(\\\)

ist eine Funktion der Schar \(f_a\), denn \(\frac{a}{k^2}\) mit \(k>0\) ist ebenfalls ein Wert von \(a\).

\(\\[1em]\)

Überprüfung

Überprüfen wir nun anhand von zwei Punkten die Funktion \(f_{a,k}\) mit verschiedenen \(k\)-Werten im Graphikmodus,

my image

so können wir erkennen, dass es sich hier tatsächlich um gestreckte Funktionen mit dem gleichen Streckungsfaktor für beide Achsrichtungen handelt.

Damit kann die Aussage in der Aufgabenstellung bestätigt werden.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Wendestellen

Mit dem Nullprodukt gibt es bei

\(\quad (a \cdot x^2 -3) \cdot x \; = \; 0 \)

\(\\\)

die Lösung \(x_1=0\). Weitere mögliche Lösungen sind in der Gleichung

\(\quad a \cdot x^2 -3 \; = \; 0 \)

\(\\\)

enthalten. Wir lösen die Gleichung nach \(x\) auf.

\( \quad \begin{array}{ r c l l } a \cdot x^2 -3 & = & 0 & | \, +3 \\[6pt] a \cdot x^2 & = & 3 & | \, :a \\[6pt] x^2 & = & \frac{3}{a} & | \, \sqrt{\dots} \\[8pt] x_2 & = & \sqrt{\frac{3}{a}} & \\[8pt] x_3 & = & -\sqrt{\frac{3}{a}} & \\ \end{array} \)

\(\\\)

Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden; \(a>0\) und \(a<0\). Ist \(a\) positiv (\(a>0\)), so sind alle \(x\) möglich und es gibt \(3\) Wendestellen. Ist \(a<0\), also negativ, so kann die Wurzel aus \(\frac{3}{a}\) nicht gezogen werden und es gibt nur eine Wendestelle bei \(x=0\).

\(\\\)